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指数函数知识点归纳图,指数函数性质归纳

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  • 指数函数知识点
  • 高中数学,指数函数,,。什么叫做指数取遍全体实数时幂数才能取到全体正数?指数函数知识点会涉及幂数?
  • 指数函数对数函数幂函数的图像和性质知识点总结
  • 指数、对数函数基本知识点
  • 指数函数的图象与性质是什么?
  • 指数函数的图像及其性质
  • Q1:指数函数知识点

    指数函数是数学中重要的函数。应用到值 e上的这个函数写为 exp(x)。还可以等价的写为 e,这里的 e是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于 2.718281828,还称为欧拉数。

    当a>1时,指数函数对于 x的负数值非常平坦,对于 x的正数值迅速攀升,在 x等于 0 的时候等于 1。当0<a<1时,指数函数对于 x的负数值迅速攀升,对于 x的正数值非常平坦,在 x等于 0 的时候等于 1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导数知识:d(a^x)/dx=a^x*ln(a)。

    作为实数变量 x的函数,y=e^x 的图像总是正的(在 x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及 x轴,尽管它可以任意程度的靠近它(所以,x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x),它定义在所有正数 x上。

    有时,尤其是在科学中,术语指数函数更一般性的用于形如 kax 的

       

    指数函数

    函数,这里的 a 叫做“底数”,是不等于 1 的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数 e 的指数函数。

    指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R),从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得

    如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

    在函数y=a^x中可以看到:

    (1) 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,

    同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

    (2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。

    (3) 函数图形都是下凸的。

    (4) a大于1时,则指数函数单调递增;若a小于1大于0,则为单调递减的。

    (5) 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过

       

    指数函数

    程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

    (6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

    (7) 函数总是通过(0,1)这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)

    (8) 显然指数函数无界。

    (9) 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

    (10)当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。

    (11)当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数。

    编辑本段公式推导

    e的定义:e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828...

    设a>0,a!=1----(log a(x))'

    =lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)

    =lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x))

    =lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))

    =1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))

    =1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))

    =1/x*log a(e)特殊地,

    当a=e时,

    (log a(x))'=(ln x)'=1/x。

    设y=a^x两边取对数ln y=xln a两边对求x

    导y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a特殊地,

    当a=e时,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。

    编辑本段函数图像

       

    指数函数

    (1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。

    (2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。

    (3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。(如右图)》。

    编辑本段幂的比较

    比较大小常用方法:(1)比差(商)法:(2)函数单调性法;(3)中间值法:要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小。

    比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意:

    (1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。

    例如:y1=3^4,y2=3^5,因为3大于1所以函数单调递增(即x的值越大,对应的y值越大),因为5大于4,所以y2大于y1。

    (2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可

       

    指数函数

    以利用指数函数图像的变化规律来判断。

    例如:y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减;3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过(0,1)然后随着x的增大,y1图像下降,而y2上升,在x等于4时,y2大于y1.

    (3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较。如:

    <1> 对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。

    <2> 在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小),就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向(例如: a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0)时,a^x大于1,异向时a^x小于1.

    〈3〉例:下列函数在R上是增函数还是减函数?说明理由.

    ⑴y=4^x

    因为4>1,所以y=4^x在R上是增函数;

    ⑵y=(1/4)^x

    因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数

    编辑本段定义域

    指代一切实数(-∞,+∞),就是R。

    编辑本段值域

    对于一切指数函数y=a^x来讲。他的a满足a>0且a≠1,即说明y>0。所以值域为(0,+∞)。a=1时也可以,此时值域恒为1。

    编辑本段化简技巧

    (1)把分子、分母分解因式,可约分的先约分

    (2)利用公式的基本性质,化繁分式为简分式,化异分母为同分母

    (3)把其中适当的几个分式先化简,重点突破.

       

    指数函数

    (4)可考虑整体思想,用换元法使分式简化

    编辑本段对应关系

    (1)曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为(-∞,+∞)。

    (2)曲线在x轴上方,而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠

       

    指数函数

    近X轴(x轴是曲线的渐近线)〈=〉函数的值域为(0,+∞)

    (3)曲线过定点(0,1)〈=〉x=0时,函数值y=a^0(零次方)=1(a>0且a≠1)

    (4)a>1时,曲线由左向右逐渐上升即a>1时,函数在(-∞,+∞)上是增函数;0<a<1时,曲线逐渐下降即0<a<1时,函数在(-∞,+∞)上是减函数。

    编辑本段概念

    (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。

    (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

    (3)函数图形都是下凹的。[1]

    (4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。

    (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

    (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

    (7)函数总是通过(0,1)这点。

    (8)显然指数函数无界。

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    词条图(7张)

    参考资料 
    • 1.  高一数学知识点归纳:指数函数、函数奇偶性  .高考网 [引用日期2012-10-20]

    Q2:高中数学,指数函数,,。什么叫做指数取遍全体实数时幂数才能取到全体正数?指数函数知识点会涉及幂数?

    股东权益=净资产;
    净利润=一个财报季度所赚取的净利润.

    Q3:指数函数对数函数幂函数的图像和性质知识点总结

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    Q4:指数、对数函数基本知识点

    内容来自用户:性gan的syg

    基本初等函数知识点
    知识点一:指数及指数幂的运算1.根式的概念 的次方根的定义:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中 当为奇数时,正数的次方根为正数,负数的次方根是负数,表示为;当为偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0. 式子叫做根式,叫做根指数,叫做被开方数.2.n次方根的性质:(1)当为奇数时,;当为偶数时,(2)3.分数指数幂的意义: ; 注意:0的正分数指数幂等与0,负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质:(1)(2)(3)知识点二:指数函数及其性质1.指数函数概念一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为.2.指数函数函数性质:函数名称|指数函数|
    定义|函数且叫做指数函数|
    图象| | |
    定义域|值域|过定点|图象过定点,即当时,.|
    奇偶性|非奇非偶|
    单调性|在上是增函数|在上是减函数|
    函数值的变化情况|变化对图象的影响|在第一象限内,从逆时针方向看图象,逐渐增大;在第二象限内,从逆时针方向看图象,逐渐减小.|
    知识点三:对数与对数运算1.对数的定义 (1)若,则叫做以为底的对数,记作,其中叫做底数,叫做真数. (2)负数和零没有对数②② 点斜式:

    Q5:指数函数的图象与性质是什么?

    函数y=a^x(a>0,且a≠1)叫做指数函数。

    Q6:指数函数的图像及其性质

    指数函数的性质
    (1)y>0
    (2)图像经过(0,1)点
    (3)a>1,当x>0时,y>1
    ;当x<o时,0<y<1
    (4)o<a<1,当x>o时,0<y<1;当x<0时,y>1
    (5)a>1,y=a^x为增函数,0<a<1,y=a^x为减函数
    (6)非奇非偶函数
    图像
    记住a>1是上升曲线

    0<a<1是下降曲线

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